So weiter gehts :
Bevor wir zu den rationalen Zahlen kommen, möchte ich noch einen Begriff definieren :
die kommunatitive Gruppe(A,$) ist eine kommunatitive Gruppe, falls :
(A,$) eine Gruppe ist (die Eigenschaften der Gruppe habe ich bereits erläutert)
und wenn zusätzlich gilt : a$b=b$a, für alle Elemente a,b aus A
Machen wir ein Beispiel :
Nehmen wir (Z,+).Ist (Z,+) eine kommuntative Gruppe ?
Zuerst müssen wir feststellen ob (Z,+) eine Gruppe ist. Und wie Bubble bereits festgestellt hat ist (Z,+) eine Gruppe.
Gilt in Z
a+b=b+a ?
Ja das stimmt, können wir sogar nachrechnen : nehmen wir als a 3 und als b -2
3+(-2)=-2+3
3-2=-2+3
1=1
Stimmt also ist (Z,+) eine kommuntative Gruppe.
Nachdem wir das festgestellt haben, können wir zu den rationalen Zahlen gehen
Rationale ZahlenNun wir haben als letztes die ganzen Zahlen eingeführt, in denen wir uneingeschränkt addieren, subtrahieren und multiplizieren können.
Doch wenn wir etwas mutliplizieren können müssen wir auch durch etwas teilen können (also die Mutliplikation rückgängig machen) nicht ?
Nun können wir das uneingeschränkt in den ganzen Zahlen ? Ein Beispiel : können wir einen ganzen Kuchen durch 4 teilen und erhalten eine ganze Zahl(oder ganze Kuchen) ? Nein natürlich nicht, deshalb brauchen wir die rationalen zahlen um dort uneingeschräünkt dividieren zu können.
Eine rationale Zahl r ist definiert als Quotient zweier ganzer Zahlen a und b (wobei b nicht 0 sein darf), also r = a/b
Dies ist nicht eindeutig, r könnte auch r=c/d
dies führt dazu,dass a*d =c*b und umgekehrt wenn a*d =c*b, dann ist r = a/b=c/d
Machen wir ein Beispiel
Wählen wir r=2/3 und s = 4/6. Sind diese Zahlen gleich?
Nun überprüfen wir das mal :
Wir müssen zeigen ob a*d =c*b
a isst 2 b 3, c 4, d 6 also setzen wir ein:
2*6=4*3
12=12 also sind r und s gleich, also r=s also 2/3=4/6 (was ja stimmt)
Jetzt können wir die Addition auf den rationalen Zahlen definieren :
ist r = a/b und s = c/d, dann ist r+s = (a*d+c*b)/b*d
Machen wir ein paar Beispiel
Sei r = 1/3 und s=1/2, was ist dann r+s?
Sei r = 1/7 und s = 3/5 was ist dann r+s
Die Lösung ist in Spoilern, damit ihr selbst nachrechnen könnt (Fragt wenn ihr was anderes bekommen hat)
Spoiler:
1/3+1/2 = 2+3/6=5/6
1/7+3/5=5+21/35=26/35
So, die Multiplikation definiert sich wie folgt :
r= a/b und s=c/d, dann ist r*s = a*b/c*d
Beispiel
r=1/3 und s = 2/3 dann ist r*s = 2/9 oder ?
Die Subtraktion ist wie die Addition definiert :
r-s = (a*d-b*c)/b*d
Jetzt noch eine wichtige Eigenschaft der rationalen Zahlen :
wenn r und s zwei Rationale Zahlen sind, dann lässt sich immmer (egal wie dicht aufeinander r und s liegen) eine andere rationale Zahl x finden, die zwischen r und s liegt ! also dass r<x<s gilt. Immer !
Also wen r = 8/10000000000000000000000000 ist und r 9/10000000000000000000000000 gibt es dennoch eine rationale Zahl x zwischen r und s.
Ich hoffe ihr wisst wie man feststellt ob eine rationale Zahl grösser ist als eine andere ?
Ist 2/3 grösser als 7/9 ?
Wenn ihr nicht wisst wie man das feststellt fragt nach^^
Dies führt aber dazu, dass zwischen 2 ganzen Zahlen unendlich viele rationalen Zahlen liegen. Führen wir das mal durch
Nehmen wir die ganze Zahlen 2 und 3 (
die auch zu den rationalen zahlen gehören, da die rationalen Zahlen die ganzen Zahlen erweitern)
Nehmen wir die Mitte zwischen 2 und 3 also 5/2 (=2.5)
Nun führen wir das spiel mal durch Zwischen 2 und 5/2 liegt wieder eine rationale zahl wegen oben. Die Zahl wäre 9/4 (2.25)
Zwischen 5/2 und 3 liegt auch eine rationale Zahl nämlich 11/4.
Jetzt kann man das Spiel beliebig fortführen...
Ah ja um die Mitte zweier Zahlen zu finden muss man a+b/2 rechnen.
Sei a=2 und b =3, dann ist die Mitte 2+3/2 =5/2
Sei a= 5/2 und b 3 dann ist die Mitte (5/2+3)/2 =(5/2+6/2)/2=(11/2)/2
Klar?
So jetzt können wir etwas neues definieren, nämlich den Körper :
A ist ein Körper, wenn :
(A,+) eine kommuntative Gruppe ist
(A,*) eine kommuntative Gruppe ist
und das Distributivgesetz gilt :
a*(b+c) = a*b+a*c und
(a+b)*c = a*c+b*c
So nun die Fragen für Interessierte :
Sind die ganzen Zahlen ein Körper`?
Sind die rationalen Zahlen ein Körper ?
und die Resultate auch.
