Da im Hausaufgaben für die Entstehung der Zahlenbereiche Interesse gezeigt wurde, fange ich mal an :
Zu allererst : die Beschreibungen hier sind nicht mathematisch. Wen ihr Interesse habt an der Mathematischen Beschreibung mache ich sie gerne
Beginnen wir mit den Natürlichen Zahlen :
Bis ins 19.Jahruhundert wurde versucht den Zahlbegirff auf den Prozess des Zählens zurückzuführen. R.Dedekind stellte dann 1888 eine mengentheoretischen Definition der natürlichen Zahlen vor. Es war dann Peano der die intuitive Vorstellung verallgemeinert und in seinem Axiomensystem präzisiert hat :
Es gelten folgende Regeln :
0 ist eine natürliche Zahl
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, der auch eine natürliche Zahl ist
Keine natürliche Zahl hat als Nachfolger die 0
Man kann beim Zählen, nicht wieder auf eine bereits gezählte Zahl treffen

So wenden wir die Definition mal an.
Beginnen wir bei 0.
(1)0 ist eine natürliche Zahl und hat einen Nachfolger nämlich 1
(2)1 ist auch eine natürlich Zahl und hat auch einen Nachfolger nämlich 2, die auch eine natürliche Zahl ist.
(3)2 ... usw.. ihr seht mit diesen Regeln wurde das Zählen definiert. Deshalb heissen diese zahlen auch natürliche Zahlen weil sie auf den natürlichen Vorgang des Zählens beruhen ^^
Da wir nun natürlichen Zahlen haben müssen wir auf Ihnen noch die Operationen definieren.
Wir haben vorhin die Nachfolgeroperation in der Definition der natürlichen Zahlen gehabt. Nennen wir sie S(n)
also S(0) =1
S(1)=2
usw...
Mithilfe der Nachfolgeoperation können wir nun die Addition definieren :
Also seien m und n Natürliche Zahlen, dann möchten wir ja nun m+n definieren.
Erstmal müssen wir hier noch sagen, dass m+0=m ist (ja das ist logisch, aber muss hier explizit gesagt werden)
S(n+m) = n+S(m)
Führen wir das mal aus. Sei n=2 und m = 3
dann ist S(m) = 4 (der Nachfolger von 3 ist 4)
Also prüfen wir mal :
linke Seite S(2+3) = 2+S(3)
S(5)= 2+4
Was ist der Nachfolger von 5? ja richtig 6
also 6=6 die Definition stimmt also.
Jetzt ist wichtig, dass wenn man 2 natürliche Zahlen addiert, bekommt man wieder eine natürliche Zahl. Dies ist durch die Axiome von Peano und der Definition der Addition gewährleistet.
Für die Addition gelten noch folgende Regeln:
n+m=m+n
n+(m+o)=(n+m)+o
n+0 =0+n=n
n+k=m+k daraus folgt n=m

Alles okay bis jetzt ? Dann fahren wir mal mit der Multiplikation weiter

m*0 = 0
m*S(n) = m*(n+1) = m*n+m
Prüfen wir diese Definition mal
n=2 und m=3
Was ist S(2)? genau 3
also linke Seite
3*3 = 3*(2+1) = 3*2*3=6+3=9
Also wurde die Multiplikation auf die Addition zurückgeführt.
Aber was ist Multiplikation symbolisch ? Es ist eine mehrfach nacheinander geführte Addition also des Zusammenzählens und deshalb natürlcich ^^
Wichtig auch durch Multiplikation zweier Natürlicher Zahlen erhält man eine Natürliche zahl

So nun machen wir eine Pause, der nächste Post wird über ganze Zahlen sein

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Ash nazg durbatulûk, ash nazg gimbatul,
ash nazg thrakatulûk, agh burzum ishi krimpatul.

Ich wette alle, die nicht Mathematik studieren, oder es im Abi gerne gemacht haben werden es nicht verstehen

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“And buried deep beneath the waves
Betrayed by family
To his nation, with his last breath, cried
»Beware the Daughter of the Sea«”

Ich wette dagegen

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ich verstehe es sogar glaube ich

Wette gewonnen

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Kein Post zum mal eben überfliegen, aber nachvollziehbar
Sogar für mich

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Ich bin nörs. Ich darf das.

Ich würde sagen die meisten setzen bei der Definition der Funktion S(n) aus. Hab die Erfahrung gemacht, dass Funktionen für Menschen völlig verwirrend und nicht verständlich sind.

Oder spätestens da:

Warum? Weil zu viele Buchstaben: Zu viele Buchstaben in der Mathematik sind böse, und man versteht sie eh nicht, weil man sie nie braucht!!!1!11elf

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Du hattest Mathe LK

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Du unterschätzt die Fähigkeiten der Leute hier. Ausserdem soviele Buchstaben hat man schon in der 9.Klasse ^^

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Ich weiß, dass das einige können
Ich rede vom Großteil der Menschen, die Mathe scheiße, unsinnig und blah finden. Meine Erfahrung, als jahrelanger Nachhilfelehrer und Mathestudent, sowie aus vielen Erzählung meiner beiden Eltern, beide Mathelehrer an einer Realschule. Denke ich kann das schon gut einschätzen

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Die die das nicht interessant finden schauen aber gar nicht in diesen Thread

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Die ganzen Zahlen werden morgen folgen

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So jetzt hatten wir die natürlichen Zahlen eingeführ auf denen wir Addition und Multiplikation uneingeschränkt ausführen können. So betrachten wir nun die Addition, die dem natürlichen Zusammenzählen dient. Aber was ist wenn man anstatt zusammenzählen etwas voneinander abziehen will ?
Ja genau das nennt sich Subtraktion. Nun ist die Subtraktion in den natürlichen Zahlen immer möglich ?
Antwort ist natürlich nein, bspw. ist 4-5 keine natürliche Zahl mehr. Also müssen wir die natürlichen Zahlen erweitern. WIr kommen zu den ganzen Zahlen:
So jetzt wie werden die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruiert?
Nehmen wir z als eine ganze Zahl. So jetzt schauen wir uns diese ganze Zahl mal genauer an. Wir stellen fest, dass sich diese Zahl als Differenzen zweier natürlicher Zahlen darstellen lässt (a und b)
Wir beschreiben also z durch das Paar (a,b).
Zum besseren Verständnis, mache ich ein Beispiel :
Nehmen wir die Zahl -3. Welche Zahlen ergeben -3 wenn man sie voneinander subtrahiert. Nun das wären 2 und 5, 1 und 4 etc...
Also kann -3 dargestellt werden durch (2,5), (1,4), (6,9) etc...
weil -3 = 2-5=1-4=6-9 etc...
Ich hoffe bis dahin ist es klar, oder ?

Nun fahren wir weiter :
Wir müssen uns noch anschauen, wann zwei solche Darstellungen die gleiche ganze Zahl darstellen.
Es gilt, ist z = a-b=c-d, dann gilt a+d = b+c und umgekehrt
Machen wir ein Beispiel :
Nehmen wir die zwei Darstellungen (2,5) und (1,4)
Stellen Sie die gleiche Zahl dar ?
Nun überprüfen wir das einfach :
also a ist hier 2, b 5, c 1, d 4
Nun müssen wir schauen, ob a+d=b+c ist
Also setzen wir ein 2+4 = 5+1
6=6 also stellen (2,5) und (1,4) die gleiche ganze Zahl dar nämlich z = 2-5=1-4
Also z=-3
Klar ?

So da wir die nun die ganzen Zahlen definiert haben, müssen wir nur noch die subtraktion definieren.
Dazu muss ich nur einen Begriff einführen, nämlich das Additive inverse. Nun was ist das?
Schauen wir uns eine ganze Zahl an:
Nennen wir sie z. Das Inverse von z ist y, wenn z+y=0 ist.
Machen wir ein Beispiel :
Nehmen wir als z =3. Was ist nun das additive Inverse von z. Nun wir müssen eine ganze Zahl finden, welche addiert mit z 0 ergibt oder? Und was plus 3 ergibt 0? Richtig -3.
Also ist das additive Inverse von 3 -3
Das von 4 -4
Das von x -x
etc...
So jezt können wir die Subtraktion definieren :
a-b entspricht a+(-b)

Nun müssen wir noch die Multiplikation neu definieren :
Sei z = (a,b) und y = (c,d)
Dann ist z*y = (ac+bd,ad+bc)
Machen wir ein Beispiel :
Sei z -3 und y -5
-3 kann dargestellt werden als (1,4) und -5 als (1,6)
Dann ist -3*(-5) = (1*1+24,6+4) = (25,10)
Nun welche Zahl stellt (25,10) dar ? Rechnen wir 25-10 = 15
Klar ?
Nun haben wir die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation auf den ganzen Zahlen auch noch definiert.
Bevor ich weiterfahre möchte ich noch ein paar Begriffe definieren, die wichtig werden später.
Zuersteinmal die Gruppe :
Eine Gruppe ist definiert als (A,$) wobei A eine Menge und $ eine Verknüpfung. (Beachte : $ und A können später ersetzt werden : $ durch eine richtige Operation(+,*,/,^) und A durch einen Zahlenbereich) Das ganze ist eine Gruppe wenn gilt :
(1)Wenn a,b,c zu A gehören, dann ist (a$b)$c = a$(b$c)
(2)Es existiert ein neutrales Element e, so dass a$e=a gilt
(3)Es existiert zu jedem a, dass zu A gehört ein inverses Element b so dass a$b=e ist

Sehr abstrakt das ganze oder ? Keine Sorge es ist nicht so kompliziert.
Schauen wir uns nun die natürlichen Zahlen N mit der Addition an, also wir wollen uns (N, +) anschauen.
Ist (N,+) eine Gruppe ?
Also gehen wir die Regeln durch:
(1) wenn a b und c natürliche Zahlen sind, giltet (a+b)+c = a+(b+c) ?
Ja ich denke das lernt man in der Schule^^ Aber ich mache ein Beispiel
Ist (2+3)+4 = 2+(3+4) ?
Ja natürlich beides ergibt 10^^
Also (1) ist klar
(2) Gibt es ein neutrales Element, welches in den natürlichen Zahlen ist, so dass a+e=a ist ? Ja e ist 0, denn a+0 ist immer a ^^ (und 0 ist in den natürlichen Zahlen)
(3) gibt es zu a ein Inverses, so dass a+b = e= 0 ist. Nun machen wir ein Beispiel. Sei a= 3 welche Zahl plus 3 gibt 0. -3 Richtig ? Aber -3 ist keine natürliche Zahl
Also ist (N,+)- die natürlichen Zahlen mit +- keine Gruppe.

Nun können wir das gleiche mit (N,*) machen
(1) ist klar, da (a*b)*c=a*(b*c) ist ( (3*4)*5 = 3*(4*5) stimmt oder ? )
(2) Geht auch, da a*1=a ist (e ist hier 1 !!!!)
(3) Gibt es eine natürliche Zahl, so dass a*b=e=1 ist ? a steht für irgendeine Zahl aus A (es muss also für jede Zahl ein Inverses vorhanden sein !!!) Nun machen wir wieder ein Beispiel. Welche Zahl multipliziert mit 3 gibt 1 ? 1/3 oder ? (3*1/3=3/3=1) Aber 1/3 ist keine Natürliche Zahl, also ist (N,*)-die Natürlichen Zahlen mit Multiplikation-keine Gruppe

Ein bisschen blöd nicht ?
Jetzt versuchen wir das mal mit den ganzen Zahlen Z.
Ist (Z,+) eine Gruppe?
ist (Z,*) eine Gruppe ?
Das könnt ihr mal versuchen und die Antworten in diesem Thread schreiben

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