Vor ein paar Tagen hat die Fakultät für Zahlentheorie der University of Central Missouri bekannt gegeben, dass die Zahl 2^57885161 - 1 eine Primzahl ist. Derzeit ist das also die größte bekannte Primzahl, die die Menschheit kennt. In der Pressemitteilung wurde weiter mitgeteilt, dass mehr als 1000 Computer mehr als 39 Tage rund um die Uhr rechnen mussten, um den Beweis zu erbringen.

Da zu dieser Zahl keine weitere Anmerkungen gemacht worden sind, werde ich hierzu nun noch ein paar eigene Bemerkungen für euch als gute Nacht Entspannung ergänzen.

Eine natürliche Zahl, die keinen natürlichen Teiler größer 1 außer sich selbst hat, nennt man Primzahl. Eine Zahl 2^n nennt man Zweierpotenz. Eine Primzahl, die um GENAU 1 kleiner ist als eine Zweierpotenz, nennt man Mersennesche Primzahl; eine Primzahl, die um GENAU 1 größer ist als eine Zweierpotenz, nennt man Fermatsche Primzahl.

Eine Mersennesche Primzahl sieht also so aus 2^n - 1
Eine Fermatsche Primzahl sieht also so aus 2^n + 1

Zuerst zu den Fermatschen Primzahlen:

Man kann folgendes beweisen: Eine Zahl 2^n + 1 kann HÖCHSTENS dann eine Primzahl sein, wenn n auch eine Zweierpotenz ist, d.h. wenn 2^(2^k) + 1 gegeben ist. Dies ist aber lediglich eine notwendige und keine hinreichende Bedingung. Anders ausgedrückt: Wenn n KEINE Zweierpotenz ist, dann kann 2^n + 1 sowieso keine Primzahl sein. Ist hingegen n eine Zweierpotenz, dann heisst das längst noch nicht, dass 2^n + 1 eine Primzahl sein muss.

Nun zu den Mersenneschen Primzahlen.

Man kann folgendes beweisen: Eine Zahl 2^n -1 kann HÖCHSTENS dann eine Primzahl sein, wenn n auch eine Primzahl ist. Auch dies ist lediglich eine notwendige aber hinreichende Bedingung. Anders ausgedrückt: Wenn n KEINE Primzahl ist, dann kann 2^n - 1 sowieso keine Primzahl sein. Ist hingegen n eine Primzahl, dann heisst das längst noch nicht, dass 2^n - 1 eine Primzahl sein muss.


Nun behauptet die Fakultät für Zahlentheorie, dass 2^57885161 - 1 eine Primzahl ist. Demzufolge muss also 57885161 eine Primzahl sein.

Schauen wir uns mal die Zahl 2^57885161 - 1 etwas genauer an. Wenn wir sie auf einen Zettel aufschreiben und für eine Dezimalstelle 0,5 cm rechnen, wie lang ist dann diese Zahl?

Zuerst müssen wir die Zahl der Dezimalstellen ermitteln. Das Dezimalsysem hat die Basis 10, das Dualsystem die Basis 2, demzufolge ergibt sich:

Anzahl der Stellen von 2^57885161 im Dezimalsystem ist 57885161 * ln 2 / ln 10 = 17425169,76...
Die Zahl hat also 17425170 Dezimalstellen.

Damit ist die Zahl - würde man sie aufschreiben - 87,12585 Kilometer lang.

Zum Vergleich: Die Zahl, die die Anzahl aller Elementarteilchen im beobachtbaren Universum angibt, ist kürzer als 60 Zentimeter. Sie ist also im Vergleich zur Zahl 2^57885161 -1 lächerlich winzig.

Die Zahl 57885161 im Dezimalsystem lautet übersetzt ins Dualsystem 11011100110100000111101001.

Uns interessieren uns jetzt noch die ersten und die letzten 5 Stellen dieser Zahl. Die Berechnung der ersten Stellen erfolgt mit völlig anderen Algorithmen als die der letzten Stellen.

Zunächst die ersten 5 Stellen: 2^57885161 = 10^(57885161 * ln 2 / ln 10) = 10^17425169,764838... Für die ersten Stellen müssen wir nun auf den Bruchteil des Exponenten schauen. Also 10^0,764838... = 5,8188...

Unsere Primzahl 2^57885161 - 1 beginnt also mit den 5 Stellen 58188.....

Jetzt die letzten 5 Stellen. Hierzu ist es notwendig die Periode der Funktion 2^n bei den letzten 5 Stellen zu ermitteln. Ist das erfolgt, dann gucken wir auf die entsprechende Kongruenzklasse von 57885161 der Periode und wir sind fertig.

Man stellt fest, dass die letzte Stelle der Funktion 2^n im Dezimalsystem die Periode 4, die vorletzte die Periode 20, die drittletzte Stelle die Periode 100, die viertletzte Stelle die Periode 500 und die fünftletzte Stelle die Periode 2500 hat.

Schauen wir uns jetzt also die Kongruenzklasse von 57885161 Modulo 2500 an. Wenn wir 57885161 durch 2500 teilen, bleibt also ein Rest von 161 übrig. 2^85785161 endet also auf denselben letzten 5 Stellen wie 2^161. Es genügt also die letzten 5 Stellen von 2^161 zu bestimmen.

Die letzten 5 Stellen von 2^161 sind 85952, so dass 2^57885161 auf den Stellen 85952 endet. Damit endet die Primzahl 2^57885161 - 1 auf 85951 und wir sind fertig.

Also 2^57885161 - 1 = 58188...(17425160 Dezimalstellen sind nachzutragen)....85951.

Thomas schafft es immer das ich mich gleich noch 30 IQ-Punkte unintelligenter fühle, als ich wirklich bin.

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"I asked you for one more miracle. I asked you to stop being dead." - "I heard you."

Hab es vom Ansatz her verstanden, ich glaue ich rechne das mal nach.

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Ash nazg durbatulûk, ash nazg gimbatul,
ash nazg thrakatulûk, agh burzum ishi krimpatul.

Okay deine Rechnung stimmt soweit ich das sehe
Aber wo ist jetzt der Beweis, dass 57885161 eine Primzahl ist. Ich kann mir nicht vorstellen, dass der mit dem Berechnen der ersten und letzten 5 Stellen erfolgt ist...?

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Die neue Zahl ist erst die 48. Mersenne-Primzahl, die überhaupt entdeckt wurde.

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Ich mach Luftsprünge

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I don't care what people think of me... At least mosquitoes find me attractive

Den Beweis kann man nur mit sehr aufwendigen Rechnungen erbringen. Deshalb haben ja auch die 1000 Computer 39 Tage lang gerechnet. Hier habe ich nur zum Vergnügen gezeigt, wie man die ersten und letzten 5 Stellen dieser Zahl berechnen kann.

Anzumerken ist, dass die Komplexität von Mersenneschen Primzahlen deutlich geringer ist, als diejenigen Primzahlen in vergleichbarer Größe. Sonst wäre der Beweis gar nicht möglich, da die Komplextät viel zu hoch ist. Andere Primzahlen, die ungefähr so groß sind wie 2^57885161 - 1 haben eine bei weitem höhere Komplexität und lassen sich demzufolge nicht testen.




Völlig richtig!


Man vermutet, dass es nur 5 Fermatsche Primzahlen gibt, nämlich 3, 5, 17, 257 und 65537.
Man vermutet auch, dass es unendlich viele Mersennesche Primzahlen gibt.

Ja, man vermutet sogar noch mehr; die Anzahl der Mersenneschen Primzahlen kleiner gleich n ist gemäß den Vermutungen der Zahlentheoretiker asymptotisch

(e^γ / ln 2) * ln ln n = 2,5695443... * ln ln n

e = 2,718281828459045.... (Eulerische Zahl)
γ = 0,577215664901532.... (Euler-Mascheroni-Konstante)
ln 2 = 0,69314718056....

Wenn n nach unendlich geht, dann geht auch 2,5695443... * ln ln n nach unendlich, wenngleich extremst langsam.

Bis zur Zahl 2^57885161 sagt die Formel asymptotisch also 2,5695443... * ln ln (2^57885161) = 44,986... Mersennsche Primzahlen voraus. Die Formel ist also empirisch gesehen hinreichend gut. Allerdings ist die Zahlentheorie eine streng analytische Wissenschaft. Empirik ist in der Zahlentheorie völlig wertlos. Die Vermutung ist also unbewiesen.

sign

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Stell’ Dir vor es geht und keiner kriegt’s hin.Wolfgang Neuss
Wussten Sie schon, dass die Alpen einen ganz erbärmlichen Anblick bieten, wenn man sich die Berge einmal wegdenkt? Loriot

Ich hatte in Mathe immer 5+ (Währe in deutschland eine 2)
Und in Informatik mit Binärzahlesistem rechner wo es nur 0 + 1 gibt
war ich auch nicht schlecht, gab auch ne Fünf!

Nur ich denke das hat nichts mit Inteligenz zu tun, ist halt eine gabe, wie andere Tanzen können.
Ist ein Tänzer inteligenter wie einer der nicht Tanzen kann? Nein ist er nicht!
Ich kann mir einfach gut merken wie man was rechnen muss! Obwhohl ich es Hasse!
Aber ich habe in der Informatik Gnies gesehen, die Programiersprachen entwickelt haben.
Die Rechnen dir alles aus. Fragst du die aber über ein Thema jehnseit der Informatik zum Beispiel
Past diese Hose zu diesem Shirt? Null, nichts, keinen schimmer!

Wenn jemand 30 Stunden am Tag nichts anderes tut als Zahlen zu bewegen, kriegt er ein Gefühl dafür
das hat mit Inteligenz nichts zu tun!
Für mich ist einer Inteligent, wenn er noch nie was davon gehört hat, und kawumm rechnet dir so eine Rechnung
das ist ein Genie, nicht einer der das 50 Jahre jeden Tag 30 Stunden lang macht!
Ist übung, wie beim Tanzen, beim Fussball, beim Reiten....

Dies wollte ich nur sagen, weil sich einige User hier jetzt dumm fühlen.
Und Thomas ich habe die Rechnung kapiert aber einfach kein bock, mir egal ob das stimmt oder nicht!

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Mac war schon immer cool, anders, halt für Leute die gegen den Strom schwimmen wollen. -MrAnderson-

Worauf zielst du mit deinem Beitrag ab? Willst du sagen Thomas ist nicht so intelligent?
Btw du schreibst sehr oft völlig am Thema vorbei, ist mir nur so aufgefallen...

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Ich hätte wahrscheinlich Lati zitieren sollen und nicht ThomasK
Meine Antwort ist eigentlich wegen ihrem Post entstanden!

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Ach so jetzt verstehe ich es

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ach so dein Tag hat nicht 30 Stunden?
Wenn ich so mit Zahlen beschäftigt bin, Hat ein Tag für mich gefühlte 30 Stunden

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